Page 52 - 4974

РОЗДІЛ 4
ГРАФОАНАЛІТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПОВЕРХОНЬ ОБЕРТАННЯ
ЧЕТВЕРТОГО ТА ДРУГОГО ПОРЯДКІВ

Поверхня обертання утворюється обертальним переміщенням твірної лінії
навколо нерухомої осі.
Кожна точка твірної при обертанні навколо осі описує коло з центром на
осі обертання. Ці кола називаються паралелями. Найбільшу і найменшу
паралель називають відповідно екватором і горлом (шийкою).
Площини, що проходять через вісь поверхні обертання, називають
меридіональними, а лінії, по яких вони перетинають поверхню, – меридіанами.
Каркас поверхні обертання можна представити паралелями або
меридіанами поверхні, а також сіткою, що складається з паралелей і меридіанів.
До основних властивостей поверхонь обертання можна віднести:
- якщо меридіан проходить через дві точки поверхні, то його відрізок –
найкоротша відстань (геодезична лінія) на поверхні між цими точками;
- всі меридіани рівні між собою;
- кожна з паралелей поверхні обертання перетинає меридіани під прямим
кутом, тобто паралелі і меридіани утворюють прямокутну сітку на
поверхні обертання;
- будь-яка з нормалей до поверхні обертання перетинає вісь поверхні.

4.1 Теоретичне обгрунтування форм поверхонь обертання четвертого
порядку
Загалом твірна крива 2-го порядку, що утворює поверхню обертання 4-го
порядку, займає довільне положення відносно осі обертання поверхні,
утворюючи при цьому тороїдальну поверхню (рис. 4.1).
При складанні алгоритмів конструювання поверхонь будемо користуватися
такими параметрами:
R – радіус базового перерізу;
R – радіус i-того перерізу;
i
L – довжина відсіку (кільцевої дільниці) поверхні, обмежена базовим та
i
i-тим перерізом;
 – кут нахилу дотичної, проведеної до i того перерізу, до осі поверхні.
i
Крива другого порядку задається в даному випадку трьома точками
K (R i , L i ), (RA ,O ), ( RE  1 , L i ) і двома дотичними (CKt i )та (ABt ) (див. рис. 4.1).
Рівняння твірної кривої – рівняння 2-го порядку відносно x і z – має вигляд

a 11 x 2  2a 12 xz  a 22 z 2  2a 13 x  2a 23 z  a 33  0. (4.1)
Рівняння дотичної до кривої другого порядку в її точці (x 0 , z 0 ) запишеться

у вигляді
a x x  a ( xz  x z )  a z z  a (x  x )  a (z  z )  a  0. (4.2)
11 0 12 0 0 22 0 13 0 23 0 33
Підставивши в рівняння (4.1) координати точок K (R , L ),
i i
A (R ,O ), ( RE  ,L ), а в рівняння (4.2) – координати точок K (R , L ),
1 i i i
С  ,0 L  R tg  дотичної t та A (R ,O ), B ,0  R tg   дотичної t , дістанемо
i i i i
52