Page 67 - 4951

x 4 3 x 5 4
 y   y   )( dxx   (  cos 3x  C 1 )dx   sin 3x  C 1 x  C 2 ,
4 4 20 9
x 5 4 x 6 4 2
y  y   (x )dx  (   sin 3x  C 1 x  C 2 )dx   cos 3x  C 1 x 
20 9 120 27
 C x  C .
2 3

Приклад 8-5. Розв’яжіть рівняння  y   y  x  2.
Розв’язання. Дане рівняння є диференціальним
рівнянням другого порядку, що допускає зниження
порядку типу F (x , y (k ) , y ( k ) 1 ,..., y (n ) )  0 . Заміною
y (x )  p (x ), y (x )  p (x ) рівняння зводять до лінійного
рівняння першого порядку:  p  p  x  2.
p  u ,  p   u   u    u   (u     )  x  2 
      ,0
d x x x
   dx ,   e  u e  x  ,2  u  e (x  ),2


  eu  x (x  )2 dx  e x (x  )2  e x  C 1  p (x )  e x (e x (x  )1  C 1 ),
x 2
x
p (x )  x 1  C e  y   (xp )dx , y   x  C x  C .
1 1 2
2

2
 
Приклад 8-6. Розв’яжіть рівняння y  y    y .
Розв’язання. Дане рівняння є диференціальним
рівнянням другого порядку, що допускає зниження
порядку типу F (y ,  y ,  y ,..., y (n ) )  0. Заміною
y( x ) p( y), y( x ) p p його зводять до
диференціального рівняння першого порядку:
 p  ,0
p p  p  p 2  p p  p  1 p    
  p 1  ,p
  y  ,0  y  ,C .
  dp   dp
 1  ,p   dy .
 dy  p 1
66