Page 65 - 4951

Отже, рівняння x 2 dy  y 2 ( x  ) 3 dx  0 є рівнянням 1-
го порядку з відокремлюваними змінними. Відокремимо
змінні
dy 2 ( x  ) 3 dx dy  2 3 
 ,     dx
2
y x 2 y  x x 
і проінтегруємо обидві частини останньої рівності:
3 2  3 x
ln y  ln C  2 ln x   ln y  lnC (x  e ) 
x

 y  Cx 2  3 x .
e
e
y  Cx 2  3 x – це і є загальний розв’язок даного рівняння.

2
2
Приклад 8-2. Розв’яжіть рівняння yx   y  y  x .
Розв’язання. Диференціальне рівняння першого
порядку називають однорідним, якщо його можна
 x 
представити у вигляді: y    f   . Розв’язок такого

 y 
рівняння шукають за допомогою підстановки:  xy  z  xx ,
де  xz – деяка нова невідома функція.
Запишемо дане рівняння у вигляді:
2
y  y 
 y      1 . Воно є однорідним, тому введемо
x  x 

заміну: y  zx, y  z x  z .
2
z  1
2
2

z x  z  z  z  1  z x  z  1  z  .
x
Після підставлення отримаємо рівняння з
відокремлюваними змінними:
dz dx dz dx
2
      ln z  z  1  ln Cx ,
2
2
z  1 x z  1 x
2
y  y  2 2 2
    1 Cx  y  y  x  Cx .
x  x 
64