Page 69 - 4951

 1 1
x 3  x 3
y  C e 0 x  C e 2 cos x  C e 2 sin x 
з .о . 1 2 3
2 2

x
 3 3
 C  e 2 (C cos x  C sin x ).
1 2 3
2 2

Приклад 8-8. Знайдіть розв’язок задачі Коші
   y 7  y  12  ey 3x  x , 1 y   20  ,  y   50  .
Розв’язання. Дане рівняння є лінійним неоднорідним
рівнянням другого порядку зі спеціальною правою
частиною. Знайдемо загальний розв’язок відповідного
однорідного рівняння:  y  7  y  12 y 0 .
Характеристичне рівняння:
  , 4
4
3
x
x
 2  7  12  0   1  y з. о.  С 1 e  С 2 e .
  2  , 3
Частинний розв’язок неоднорідного рівняння, з
огляду на праву частину рівняння, має вигляд:
2
B
y  xe 3x Ax  B  e 3 x Ax  Bx , де A, – невідомі
ч. н.
коефіцієнти. Для їх знаходження знайдемо першу і другу
похідні y і підставимо y , y , y  у початкове
ч .н . ч .н . ч .н . ч .н .
рівняння.
y  e 3 x  Ax3 2  3 Bx 2 Ax  B ,
ч. н.
.
y  e 3 x  Ax9 2  12 Ax 9 Bx 6 B 2  A
ч. н.
e 3x 9Ax 2  12Ax  9Bx  6 B 2A 
.
 7e 3x 3Ax 2  2Ax  3Bx  B  12 e 3x Ax 2  Bx  e 3x  x  1
  2 A , 1
 2Ax  B  2  xA  1   
  B  2 A , 1

 1 1
3x
  A  2 ,  y ч .н .  e  x 2  2x  . 

 B   . 2  2 

Загальний розв’язок неоднорідного рівняння є сумою
загального розв’язку однорідного рівняння та часткового
68