Page 66 - 4951

Отримали загальний інтеграл рівняння.

2xy
Приклад 8-3. Розв’яжіть рівняння y    1 x 2 .
1 x 2
Розв’язання. Дане рівняння є лінійним, тобто виду
y   p (x )y  q (x ), тому введемо заміну: y  u( x)  x )( u  ,
де u  u (x ),    (x ) – деякі невідомі функції.
2xu 2x
u  u     1 x 2  u  ( u    )  1 x 2 .
1 x 2 1 x 2
Підберемо функцію    (x ) так, щоб вона
2x
задовольняла рівняння     0.
1 x 2
2x d 2xdx
    0   
1 x 2  1 x 2

d 1 ( d  x 2 ) 2 2
   2  ln  ln( 1 x )    1 x .
 1 x
Підставимо знайдену функцію  (x ) в рівняння

2x 2
u  ( u    )  1 x :
1 x 2
u 1 (  x 2 )  1 x 2  du  dx  u  x  . C

Тоді загальний розв’язок рівняння має вигляд:
y  1 (  x 2 )(x  C ) .

3
  
Приклад 8-4. Розв’яжіть рівняння y  x  4 sin x 3 .
Розв’язання. Дане рівняння є диференціальним
рівнянням третього порядку, що допускає зниження
порядку типу y ( ) n  f (x ) . Для знаходження його розв’язку
інтегруємо рівняння тричі:
x 4 4
3
  y   y    (x )dx   (x  sin4 3x )dx   cos 3x  C
, 1
4 3

65