Page 34 - 4824

де М і R симетричні і додатньо-визначені вагові матриці.
Із виразу (5.2) вилучаємо змінну y шляхом підстановки її
значення із (5.2).
f t
R( x, u)  5.0  [( C x  uD ) T M C ( x  uD )  u T R u] dt .
0
Розкриваючи дужки в підінтегральному виразі,
одержимо
f t
R( x, u)  5.0  x ( T Q x  x T u S  u T S T x  u T R u) dt , (5.4)
0
~ T
де Q  C T MC , S  C T MD , R  F  R , F  D MD .
T
Матриці у виразі (5.4) також симетричні, оскільки Q=Q
~
T
i R  R .
Поставимо задачу: знайти таке оптимальне керування
u *, як функцію вагових координат x , яке мінімізувало би
критерій оптимальності (5.4) і задовольняло би
диференціальному рівнянню (5.1). Розв’язок цієї задачі дає
можливість визначити алгоритм функціонування
оптимального регулятора.
Для розв’язання задачі скористаємося принципом
максимума. Використаємо ряд перетворень і отримуємо:
dP( t) ~ ~ ~
 P( t) A  A T P( t)  P( t) B( t) R  1 B T P( t)  Q , (5.5)
dt
Р(t 3)=0,
яке будемо називати узагальнюючим рівнянням Рік каті.
Отже, оптимальний закон керування зі зворотним
зв’язком по стану об’єкта, або просто оптимальний регулятор,
задається виразом
~
1

u*  R ( B T P( t)  S T x ) (5.6)
Для системи із повним спостереженням маємо в цьому
випадку С=І, D=Q, Q=M a y  x .
Тоді ми одержуємо загальновідоме рівняння Рік каті