Page 11 - 4776

1.2. Поняття та існування подвійного інтеграла. Його
геометричний та механічний зміст

Припустимо, що границя області складається зі
скінченної кількості кривих, заданих рівняннями вигляду
або , де і неперервні функції.
Такою областю, наприклад, є замкнений многокутник,
границя якого складається зі скінченного числа відрізків, що
представляють собою графіки неперервних функцій вигляду
або .
Розіб’ємо область довільним чином на частин , які
не мають спільних внутрішніх точок і площі яких дорівнюють
, , (рис. 3). У кожній області візьмемо
довільну точку і утворимо суму

(5)
яку назвемо інтегральною сумою для функції
по області .
Означення. Якщо інтегральна сума (5)

при має скінченну границю , яка не
залежить ні від способу розбиття області на частинні області ,
ні від вибору точок в них, то ця границя називається
подвійним інтегралом від функції по області і позначається
одним із символів:

або

11