Page 106 - 4776

Оскільки , то і , а це відповідає
теоремі про рівність мішаних похідних для неперервно
диференційовної в області функції . Оскільки , то

,
тобто умова 4) виконується.
Доведемо, що . Якщо , а і
початкова і кінцева точки довільної кривої ( ), то

Останній вираз не залежить від форми кривої , а тільки
від точок і на ній, тобто умова 1) виконується. Зокрема,
якщо крива замкнена, то цей інтеграл дорівнює нулю.
Зауваження. Аналогічна теорема справедлива для
криволінійних інтегралів другого роду вздовж просторових
кривих. Для її формулювання введемо поняття поверхнево-
однозв’язної області.
Тривимірна область називається поверхнево-
однозв’язною, якщо на будь-який кусково-гладкий замкнений
контур, який належить області і не має точок самоперетину,
можна “натягнути плівку”, яка цілком належить області .
Поверхнево-однозв’язними областями є куля, еліпсоїд і т.д.,
неоднозв’язною тор (“бублик”).

Теорема. Якщо в деякій замкненій поверхнево-
однозв’язній області

106