Page 41 - 4754

39

Нехай задана визначена (має, причому єдиний, розв’язок) квадратна

система лінійних алгебраїчних рівнянь n -го порядку AX = B, з якої треба

знайти значення лише перших m невідомих x j (j= m1, ; m < n).

Розбиттям матриць на блоки

 A 11 ¦ A 12   X 1   B 1 


A          ; X      ; B      ;
     
A
 21 ¦ A 22   X 2   B 2 
де

 a 11 a 12 ... a 1 m   x 1   b 1 
     
a
A 11   21 a 22 ... a 2 m ; X 1   x 2  ; B 1   b 2  ;
 ... ... ... ...   ...   ... 
   x   b 
a
 m 1 a m 2 ... a mm   m   m 
цю систему можна подати у вигляді

 A 11 X 1  A 12 X 2  B 1
 .
A
 21 X 1  A 22 X 2  B 2
Вилучивши із системи X 2 , приходимо до одного рівняння відносно

шуканих невідомих X 1.

 1  1
( A 11  A 12 A 22 A 21 ) X 1  B  A 12 A 22 B .
1
2
Зауваження. Якщо невироджена квадратна матриця A розбита на блоки

 A 11 ¦ A 12 
A          ;
 
A
 21 ¦ A 22 
-1
то обернену матрицю A також можна подати у блочному вигляді

 C 11 C ¦ 12 
1  
A        ;
 
 C 21 ¦ C 22 

де

 1  1  1
C 11  ( A 11  A 12 A 22 A 21 ) ;C 21   A 22 A 21 C 21 ;

 1  1  1
C 22  ( A 22  A 21 A 11 A 12 ) ;C 12   A 11 A 12 C 22 ;