Page 39 - 4754

37

5 5 1
x 3 = C; x  C ; x  2 x  2 C  2 C   C .
2 1 2
6 6 3

Отже, загальний розв’язок

1 5
x   C ; x  C ; x 3 = C; C  R ;
1
2
3 6
Покладемо C = 6 . Тоді маємо ненульовий частинний розв’язок

x 1 = - 2; x 2 = 5; x 3 = 6. ■

3.6. Розв’язування лінійної системи і обернення матриці за допомогою

розбиття на блоки

Довільну матрицю прямими, паралельними її рядкам і стовпцям, можна

розбити на блоки, тобто записати у вигляді блочної матриці. Наприклад

 A 11 ¦ A 12 ¦ A 13 
A             .
 
 A 21 ¦ A 22 ¦ A 23 

Кожний блок A ij називається підматрицею матриці A.

З блочними матрицями можна виконувати звичайні операції, розглядаючи

підматриці як елементи.

Нехай A – невироджена квадратна матриця n -того порядку, а E – одинична

матриця того же порядку. Складемо блочну матрицю C =(А¦E ) і помножимо її

-1
зліва на матрицю A .
Тоді

-1
-1
-1
-1
A C = (А A¦ А E )= (E¦ А ) .
Оскільки множення матриці C на деяку матрицю зліва рівносильне
відповідним лінійним операціям з рядками матриці C , то одержаний результат

можна використати для знаходження оберненої матриці.

Якщо вказана блочна матриця (А¦E ) за допомогою елементарних

-1
перетворень її рядків зводиться до вигляду (А¦B ), то B = A .
Звичайно, елементарні перетворення здійснюються модифікованим

методом Гаусса.

Приклад. Знайти матрицю, обернену до матриці