Page 58 - 4719

x ( 0 ) . Замінюємо поблизу точки x ( 0 ) лінійним рівнянням
(2.5).
∂ω
ω (x ) 0 ( ) + (x ) 0 ( )( − xx ) 0 ( ) = 0 . (10.1)
∂x
Ліва частина якого - це два перших члена розкладеної
функції ( ) x в ряд Тейлора.
ω
2 Розв’яжемо лінійне рівняння (2.5) і знайдемо поправку
∆ x до початкового наближення:
( ) 1
ω (x ) 0 ( )
∆ x ) 1 ( = x ) 1 ( − x ) 0 ( = − . (10.2)
∂ω
x ∂ (x ) 0 ( )
3 Наближення визначаємо згідно з 2.7:
ω (x (i ) )
i
x (i+ ) 1 = x + ∆ x (i+ ) 1 = x −
i
∂ω . (10.3)
x ∂ (x (i ) )
4 Ітераційний процес збігається, якщо функція ( ) xω
наближається до нуля. Збіжність вважають досягнутою, якщо
величина нев’язки менша заданої, тобто
ω(x (i ) ) ≤ ε . (10.4)
Геометричне пояснення: один крок методу Ньютона
зводиться до заміни кривої ω ( ) x на пряму
∂ω
ω (x ) 0 ( ) + (x ) 0 ( )⋅ (x − x ) 0 ( ) , яка є дотичною до кривої в
x ∂
точці x = x ) 0 ( . Тому метод Ньютона називають також
методом дотичних. Наближення x ( +i ) 1 є точкою перетину

дотичної до кривої в точці x = x ) 0 ( з віссю Х.

Алгоритм методу Ньютона для системи нелінійних
алгебраїчних рівнянь
Розглянемо розв’язання за методом Ньютона системи
нелінійних алгебраїчних рівнянь.

57