Page 67 - 4716


Доведення. Доведення проведемо для неперервної  ,f x y . Розглянемо

малий прямокутник . За властивістю

функції розподілу

x x y y x y y x x y x y
dx
  dx  f  ,x y dy   dx  f  ,x y dy   dx  f  ,x y dy    f  ,x y dy 
       

Таким чином, елемент ймовірності з точністю до

нескінченно малих вищого порядку дорівнює ймовірності попадання вектора



 ,  в нескінченно малий прямокутник, прилеглий до точки  ,x y , зі
сторонами, паралельними осям координат. Оскільки квадровану область D

можна представити з будь-якою точністю у вигляді об’єднання скінченного

числа нескінченно малих прямокутників , які не перетинаються, то за

P (( , ) D   )  f ( , )x y dx dy .
аксіомою адитивності випливає формула  ■
D

Для неперервного випадкового вектора у точках двічі

диференційованості функції розподілу

 2 F (x , ) y
f (x , ) y  .
 x y

Доведення. Ця властивість випливає з означення. Дійсно,

 F  ,x y  y  2 F  ,x y 

.
  f  ,x t dt і  f  ,x y ■
x   x y

Приклад 2. Задано функцію f(x,y) , яка є щільністю розподілу деякої

випадкового вектора: f (x, y) =

67