Page 15 - 4700

h ( ,  , ...,  ) від випадкових величин  ,  , ...,  тобто
n 1 2 n 1 2 n
F п(х)= h ( ,  , ...,  ).
n 1 2 n
Нехай F n(х) емпірична функція розподілу вибірки  ,
1
 2,...,  із генеральної сукупності  із функцією розподілу
n
F n(х) Тоді для довільного x  ( ,  ) і довільного

  0 lim P F n (x )  F (x )    0
n  
Оскільки згідно з означенням емпіричної функції вибірки
 ,  2,..., 
1 n
1 n
F n(х)   v , (2.2)
n  i 1 i

де випадкові величини v незалежні, однаково
i
розподілені з математичним сподіванням Mv = 1 – Р{ξ i<x}+
i
0·Р{ξ i >х}=F(х), і=1 ; 2; ...; п, то за законом великих чисел
(теорема Хінчина) для довільного  >0
 1 n 
v
limP   i  Mv i     0. (2.3)
n   n
 1  i 
Тому з очевидної рівності
 1 n 
P   i  Mv i    P F n (x )  (xF )    (2.4)
v

 n i 1 
випливає доведення теореми.
Теорема Колмогорова дає змогу вказати межі, в які із
заданою ймовірністю потрапляє теоретична функція
розподілу, якшо вона невідома.
Нехай задано  (0; 1); число t визначається з рівняння

K(t )= . Тоді за теоремою Колмогорова

P ( n sup F (x )  (xF )  t )  K (t )   (2.5)
n  
 x 
14