Page 8 - 4570

7

Задамо цю множену за допомогою характеристичної властивості

P   : x x 3  N .

Переліченням елементів можна задати лише скінчені множини, а за
допомогою характеристичної властивості можна задавати як скінчені так і
нескінчені множини.

3. Підмножина, порівняння множин, булеан
Тільки одного поняття множини ще недостатньо для вивчання існуючих
дискретних структур. Необхідно ще ввести поняття частини множини і правил
створювання нових множин із уже існуючих.
Означення 1.2. Множина А, всі елементи якої належать і до множини В,
називається підмножиною (частиною) множини В.
Таке співвідношення поміж множинами називається включення і
позначається символом « », тобто:

A  B (А включене до В), або B  A (В містить А).
Вочевидь, що A  B, якщо з належності елемента x до множини A
випливає належність цього елемента і до множини В, тобто з x  A  x  B.
Якщо множина A не міститься в множині В, то використовують
позначання:
A  B (А не включене до В).
Приклад 1.9. Множина невід’ємних дійсних чисел [0, +∞), яка має
+
спеціальне позначення R , міститься у множині дійсних чисел R = (−∞, + ∞),
+
тобто R  R.
Означення 1.3. Дві множини А та В називаються рівними (позначається А
= В), якщо A  B та B  A. Це визначення рівності двох множин за допомогою
операції включення.
У літературі також зустрічається позначення A  B. У цьому випадку під A
 B слід розуміти строге включення, яке не припускає рівності. Якщо A  B, A
≠ B та A ≠ , то A називають власною підмножиною множини B. Нестроге
включення A  B допускає рівність (тоді A називається невласною
підмножиною множини B).
Ми будемо використовувати позначання A  B для нестрогого включення,
яке допускає рівність А = В.
Вважають, що порожня множина є невласною підмножиною кожної не
порожньої множини А, тобто   A. Враховуючі, що А теж входить до А, то
кожна непорожня множина А має принаймні дві різні підмножини  та А.
Зауваження:
1. Нехай U − деяка фіксована множина. Розглянемо тільки такі множини А,
В, С, ..., які є підмножинами множини U. У цьому випадку множина U буде
універсальною множиною для всіх множин А, В, С, ... .
2. Зі співвідношень A  B та B  C випливає, що A  C, тобто відношення
включення є транзитивним.