Page 10 - 4570

9

Означення 1.5. Елементи множини U, які не входять до А, утворюють
доповнену множину до А (позначаються A ).
Доповнення множини А до множини U – це множина
A = {x | x  A, x  U}.
Справедливою є також властивість A = A, яка називається властивістю
інволюції.
Означення 1.6. Об’єднанням двох множин − А та В (позначається A  B
або A + B) називається множина С, яка складається з усіх тих елементів, які
належать хоча б до однієї з цих множин.
С = A  B = {x | x  A або x  В, x  U}.

Причому, однакові елементи враховуються тільки один раз, а до
результатуючої множини A  B належать також і ті елементи, які водночас
належать множинам А та В.
Означення 1.7. Перерізом двох множин − А та В (позначається A  B або
A B) називається множина С, яка складається з усіх тих елементів, які
належать множені А і множені В одночасно.
С = A  B = {x | x  A і x  B, x  U}.
Означення 1.8. Різницею двох множин − А та В (позначається А \ В)
називається множина
С =А \ В = {x | x  А та x  B, x  U}.
Означення 1.9. Симетричною різницею двох множин − А та В
(позначається A  B, A Δ B або A − B) називається множина
С = A  B = (A \ B)  (B \ A).
Приклад 1.12. Нехай A = {1, 3, 4, 5, 8}; B = {2, 4, 5, 6, 9}, тоді:
A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}; A  B = {4, 5};
A \ B = {1, 3, 8}; A  B = {1, 2, 3, 6, 8, 9}.
Якщо визначити універсум U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, тоді:
A = {0, 2, 6, 7, 9}; B = {0,1, 3, 7, 8}.
Для скінченного числа множин A 1, A 2 , ... , A n в аналогічний спосіб
визначаються операції об’єднання та перерізу
n n
 A  A  A  ... A та  A  A  A  ... A .
1
i
1
i
2
2
n
n
i 1 i 1
2. Властивості операцій над множинами
Нехай задано множини A, B ,C та U (U − універсум). Тоді для операцій ,
, \, ¬ (де ¬A = A ) виконуються такі властивості:
1. Комутативність:
A  B = B  A A  B = B  A
2. Асоціативність:
A  (B  C) = (A  B)  C A  (B  C) = (A  B)  C
3. Дистрибутивність:
A  (B  C) = (A  B)  (A  A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
C)
4. Ідемпотентність: