Page 7 - 4570

6

Множина як об’єкт може бути елементом іншої множини.
Приклад 1.5. У множині книг на полиці самі книги можуть розглядатися
як множини сторінок.
Передбачається, що границі множини повинні бути чітко визначені. Саме
задання множини явно або неявно обмежує сукупність об’єктів, які належать до
цієї множени. У будь-якій конкретній задачі доводиться мати справу тільки з
фіксованою для цієї задачі, множиною.
Означення 1.1. Універсальною множиною (універсумом) називається
множина, що містить всі елементи з деякою заданою властивістю. Позначається
така множина через U.
Поняття «універсальної множини» залежить від задачі, яку розглядають.
Прикладом універсальної множини може бути множина дійсних чисел,
множина людей на планеті Земля тощо.

2. Способи задання множин

При заданні множин слід визначити, які елементи до неї належать.
1. Множину можна задавати явним переліченням всіх її елементів.
А ={а 1, а 2, ..., а n }.
Це є спосіб задання множини списком, який підходить тільки для задання
множин з невеликою кількістю елементів.
Приклад 1.6. Множина всіх студентів, присутніх в аудиторії (Петров,
Сидоров, ...).
Узагальненням першого способу є задання елементів множини за
допомогою певних елементів уже відомої множини.
Приклад 1.7. За відомою множиною цілих чисел Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2,
−2
−3
−1
2
3
1
0
3, …} визначимо множину степенів числа 3: {…, 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , …}.
2. Множину можна задавати за допомогою вказівки деякої
характеристичної властивості якою володіє кожен з елементів множини,
що розглядається, і не володіє кожен інший елемент, що не входить до цієї
множини.
Характеристичну властивість запишемо у вигляді одномісного предиката
P(x), який визначається на універсальній множині елементів з яких формується
множина А.
Предикат − це те, що стверджується або заперечується про об'єкт
судження. Припускається, що властивість має змістовний сенс на сукупності
об'єктів, що розглядається, при цьому предикат може приймати одне з двох
значень істинності − «істина» або «хиба». Якщо за х = а висловлення Р(х) є
істинним, то а − елемент даної множини. Множину А, задану за допомогою
предиката Р(х), записують у вигляді:
А ={x | P(x), x  U } або А = {x: P(x), x  U },
причому а {x: P(x), x  U }, якщо Р(а) є істинним.
Приклад 1.8. Нехай задано множину натуральних чисел N = {1, 2, 3, ...}.
Розглянемо сукупність елементів з множини N, які діляться на 3
(характеристична властивість). Дістанемо множину чисел, кратних до 3:
P = {3, 6, 9, ... }.