Page 13 - 4570
P. 13
12
з іншого – А С є пустою множиною, що суперечить одне одному. Отже,
множин, що задовольняють усім наведеним умовам, не існує. Тому неможливо
побудувати відповідну діаграму Ейлера-Венна.
ЛЕКЦІЯ 3. АЛГЕБРА МНОЖИН
1. Загальні положення
Алгебра множин створюється з допомогою операцій між підмножинами
універсальної множини як сукупність рівностей між ними які називаються
тотожностями.
Наприклад, для будь-яких підмножин (множин) А, В і А, В, С універсальної
множини U дійсними є рівності:
A (B C) = (A B) (A C) та A (B C) = (A B) (A C)
Кожну з наведених рівностей можна довести, показавши, що будь-який
елемент множини, що стоїть з одного боку від знака рівності, належить до
множини, яка стоїть з іншого боку від цього знака рівності.
Доведемо рівність пердставлену вище. Доведення складається з двох
частин:
1. Нехай х A (B C). Тоді х А або х B C. Якщо х А, то х A
B і х A C, і, таким чином, х є елементом перетину цих множин: (A B)
(A C).
Якщо х B C, то х B і х C. Отже, х A B і х A C. У цьому
випадку х також є елементом перетину (A B) (A C).
2. Розглянемо вираз:
(A B) (A C) A (B C).
Нехай х (A B) (A C). Тоді х A B і х A C. Отже, або х
A або х B і х C. З цього випливає, що х A (B C).
Тобто х належить як до першої частини рівності, так і до другої, що й
доводить її.
У загальному вигляді подані вище рівності можна подати в наступний
спосіб:
A (B 1 B 2 . . . B n) = (A B 1) (A B 2) . . . (A B n);
A (B 1 B 2 . . . B n) = (A B 1) (A B 2) . . . (A B n).
Доводити рівності з множинами можна різними способами. Нижче
наведено приклади, що ілюструють способи доведення.
Спосіб 1. Цей спосіб ґрунтується на такій теоремі. Множини А та В рівні
тоді й лише тоді, коли А В та В A.
Приклад 1.14. Доведемо рівність множин, яка являє собою формулювання
закону де Моргана A B A B .
B
Припустимо, що х A . Тоді х A B, звідки випливає, х A або х
B. Отже, х A або х B , а це означає, що х A B . Ми довели, що
B
A A B . Навпаки, нехай х A B . Тоді х A або х B , звідки
