Page 14 - 4570

13

B
випливає, що х  A або х  B. Це означає, що х  A  B, тобто х  A .
B
Отже, A  B  A .
Спосіб 2. Доведення рівності множин за допомогою законів логіки.

Приклад 1.15. Доведемо рівність A B  A  B . Послідовно перевіримо
рівності:
B
A = {x | x  A  B} = {x | ¬(х  A  B)} =
= {x | ¬((х  A)  (х  B))} = {x | (х  A)  (х  B)} =
= {x | (х  A )  (х  B )} = {x | х  A  B } = A  B .
Спосіб 3. Доведення рівності множин за допомогою таблиць належності,
які містять усі можливі комбінації належності елементів множинам (1 –
елемент належить множині, 0 – не належить).
Приклад 1.16. Доведемо цим способом рівність A B  A  B . Доведення
подано в таблиці.
A B A  B A A B A  B
B
0 0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0 1
1 0 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 0 0
Стовпчики, які в таблиці відповідають значенням A та A  B ,
B
одинакові, отже A B  A  B .
Спосіб 4. Доведення рівності множин за допомогою основних законів
теорії множин.
Приклад 1.17. Довести тотожність A (B  C ) = (C  B ) A .
Використовуючи закони де Моргана та комутативні, можна записати таку
послідовність рівних множин:
1. За законом де Моргана
A (B  C ) = A  (B  C )

2. За законом де Моргана
= A  (B  C )

3. За законом комутативності
= (B  C )  A
4. За законом комутативності
= (C  B )  A

Наведені в попередній лекції рівності дозволяють спрощувати різні більш
складні вирази алгебри множин.

2. Декартовий добуток множин та кортеж
Декартовим добутком множин А та В (позначають АВ) називають
множину всіх таких пар (а, b), що а  А та b  В. Зокрема, якщо А = В, то
2
обидві компоненти належать А. Такий добуток позначають як А та називають