Page 17 - 4570

16

Означення 1.10. Множина називається впорядкованою, якщо кожному її
елементу поставлено у відповідність число n (n  N, n − номер цього елемента)
та елементи множини розміщено в порядку зростання їхніх номерів.
За кількості елементів n >1 множину можна впорядкувати не в єдиний
спосіб.
Відношення позначатимемо літерою R , тоді запис xRy вказує на те, що між
x та y (x  X, y  Y) існує зв’язок. В прикладі поданому вище можна записати «x
є брат y». Тут відношення R – «бути братом».
Відношення повністю визначається парами (x, y), для яких воно
виконується, тому кожне бінарне відношення можна розглядати як множину
впорядкованих пар (x, y). При цьому порядок вибору елементів істотний.
Перший елемент завжди вибирається з першої множини, другий − з другої.
Рівність впорядкованих пар визначається в наступний спосіб: (a, b) = (c, d),
якщо a = c та b = d.
Приклад 1.21. Нехай A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, а відношення R –
«елемент х дільник елементу у», де x  A, y  B . Тоді відношення R
визначається парами елементів множин А та В
R = {(1,1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6)},
тому R є підмножиною множини, що складається з усіх упорядкованих пар
елементів по одному з кожної множини А та В.
f
Функція y = f (x) (іноді записують x  ) також є відношенням.
y
Відношення, яке визначене на одному об’єкті називається унарним, якщо
ж його визначено між парами об’єктів, то воно називається бінарним, між
трьома об’єктами − тернарним і т. д.

2. Бінарні відношення

Найпоширенішими з відношень є бінарні відношення. Перш ніж подати
їхнє визначення згадаємо визначення декартового добутку множин.
Означення 1.11. Впорядкована множина з n елементів називається
кортежем (вектором, набором), де n < ∞. Кортеж з n елементів будемо
позначати як (a 1, a 2, . . ., a n) і будемо говорити, що він має довжину n.
Нехай задано дві множини − A та B які містять в собі певні елементи.
Означення 1.12. Множина впорядкованих пар елементів, з яких перший
належить до А, а другий − до В, називається декартовим (прямим) добутком
множин А та В і позначається як:
A  B = {(a, b) | a  A, b  B}.
Всі елементи множини A  B − кортежі довжиною 2.
Отже, декартовим добутком множин A 1, A 2, . . ., A n називається множина
наборів кортежів довжини n:
A 1  A 2  . . .  A n = {(a 1, a 2, . . ., a n) | a 1  A 1, a 2  A 2, . . ., a n  A n}.
Степенем множини A називають декартовий добуток
A n = A  A  . . .  A.