Page 51 - 4547

Рівняння температурного поля в стержні знаходять інтегруванням (2.8).

Введемо нову змінну U  dt , тоді (2.8) має вигляд
dr

dU  U  q v  0. (2.10)
dr r 

Після інтегрування (2.10) отримуємо

q r 2
v
t    C lnr C . (2.11)

4 1 2
Після виключення постійних інтегрування знаходимо рівняння температурного
поля циліндричного стержня

r q v

t t  q v 0  r  r 2 , (2.12)
2
p
2 4  0
де t – температура стержня на віддалі r від осі, K; r 0 – радіус стержня, м; α –
коефіцієнт тепловіддачі стержня в навколишнє середовище, Вт/(м ·К).
2
Розглянемо декілька випадків, коли температура залежить тільки від однієї
координати.

2.1.4 Необмежена плоска стінка
Дано: товщина стінки δ, довжина і ширина стінки нескінченно великі у
порівнянні з δ. Теплопровідність матеріалу λ . На зовнішніх поверхнях
підтримуються постійними температури і , причому > . Необхідно
2
1
2
1
визначити характер розподілення температури по товщині стінки і кількість
теплоти , що проходить через стінку площею F за час τ (рис. 2.3).

t 
t   q
t 1

t 2



x
Рисунок 2.3 – Зміна температури в плоскій стінці
Розв'язання
Граничні умови 1 роду будуть такі: t= t 1 під час х= 0 і t = , під час х =
2
δ. Рівняння теплопровідності в цьому випадку буде

2
= 0 . (2.13)
2

Інтегруючи (2.13) одержимо: = , після другого інтегрування:
1

51