Page 20 - 4496

відношенні. Прикладом дихотомії може служити відношення
«бути за віком не старше» між людьми. Тут, якщо Іван
старший за Петра, те, виходить, Петро не старший за Івана.
Відношення  називають відношенням порядку, якщо
воно антисиметричне й транзитивне. Якщо при цьому
відношення рефлексивне, то воно називається відношенням
нестрогого порядку, якщо антирефлексивне – відношенням
строгого порядку.
Відношення нестрогого порядку між елементами a i й a j
позначається a i  a j , відношення строгого порядку – a i < a j .
Наведене вище відношення «бути не старше» є
відношенням нестрогого порядку, тому що воно рефлексивне,
антисиметричне й транзитивне. Прикладом відношення
строгого порядку буде певне на великій кількості людей
відношення «бути старшим за», тому що будь-яка людина не
може бути старшою за себе.
І нарешті, якщо ввести у відношення необхідність
дихотомії, то одержимо відповідно відношення повного
нестрогого або повного строгого порядку.
Якщо відносно умови дихотомії не виконуються, то
відношення називається відношенням часткового порядку.
Якщо на великій кількості людей визначити відношення
«бути начальником по службі» і вважати, що начальник мого
начальника є моїм начальником (виконується транзитивність),
то це є частковий порядок, тому що люди, що працюють у
різних організаціях, щодо цього не перебувають у відношенні.
Строгий це порядок чи ні, визначається тим, чи вважаємо ми
себе начальниками по службі для самих себе чи ні.
Елемент a i безпосередньо йде за a j, якщо a i <a j і не
найдеться такого a k , що a i<a k<a j. Виходить, для будь-яких
елементів a i й a j ,таких, що a i <a j, найдеться ланцюжок
елементів між a i й a j , у якій будь-який елемент безпосередньо
треба за попереднім. Всі такі ланцюжки визначають схему
транзитивного відношення.
Для повної множини, коли будь-яка пара елементів
перебуває у відношенні, ланцюжок буде єдиним. Якщо
множина А звичайна, то при повному порядку завжди
найдеться єдиний елемент а max такий, що аА а max>a. Цей
елемент називають максимальним.

17