Page 339 - 4371

1
Замінивши в цій формулі x на x  , отримаємо, двічі її
x
 1  1 1
використавши,   22  f   21  x f    2 f   x  4 f   x .
f
 x  x x
Якщо x 2 , то   22f  f  1 . Тому   Cxxf  , де C  f  1 .

Це співвідношення виконується також для x  0 та x  1.
Отже, лише функції вигляду   Cxxf  для всіх x за-
R
довольняють умови задачі.
13.35 З умови а) за індукцією отримаємо
f x  m   f   mx  для всіх m N і для всіх Qx . Не-

хай p  N , q  N , тоді, відповідно до умови б), матимемо:
3 3 3
  p  2    p 2      p 2  

  f   q     f  q    f   q  
          

  q     q    q  

  p  3    p  3 


2
3
6
3
2
 f    3p  3pq  q 6   f     3p  3pq  q .
   q     q   


   
3
  p    p 
3
2
3
6
2
Отже, f     q   f    3p  3pq  q . Звідси
     
  q    q 
 p   p 
2
3
2
3q 2 f    3q 4 f    3p  3pq і




 q   q 
2
  p  p   p   p 
q 2   f        f 2  .
       
  q  q   q   q 
 p  p  p  p
2
Якщо f     , то f      q , що неможливо. От-



 q  q  q  q
же,  xf  x для всіх Qx .

13.36 Виконаємо послідовно заміни:
   
x  , 0 y  t ; x  t  , y  ; x  , y  t  .
2 2 2 2
Тоді дістанемо систему рівнянь:
339