Page 332 - 4371

3
 yf  3   f 3  y   f  y , y  R ,
тобто функція f непарна. Використовуючи непарність,
наше рівняння можемо переписати у вигляді
3
f x  y 3  f 3  x  f 3  y або, з врахуванням (13.6),
3
3
3
3
f x  y 3   f    yfx  3 . Зробивши заміни x  , y  v
u

, отримаємо функційне рівняння Коші
f u   v  f  u  f  v у класі неперервних на R функцій.
Отже, з огляду на задачу 13.1, маємо   axxf  . Підстави-
вши цю функцію в дане функційне рівняння, отримаємо
a  0 або a  1, тобто лише функції   0xf та  xf  x є

його розв’язками.
13.19 Замінимо в даному співвідношенні x спочатку на
a
x  a , а потім на x  :

f x  2  a  f  x  2 f x   a ;
f  x  f x  2  a  2 f x   a .
Додавши обидва отримані співвідношення, а також враху-
вавши дане співвідношення, матимемо
f 2  x  f x 2   a f x 2  a  2   f x   a  f x  a  2 f  x ,
звідки  xf 2a  f  x 2a  0 . Замінивши в цьому спів-
відношенні x на x  , отримаємо xf  4  a   f  x , тому
a
f x  8  a   f x  4  a  f  x .
Отже, функція f періодична з періодом T  8 a .

13.20 Знайдемо  xf 1  , f x  2  , f x  3  , f x   6 по-
слідовно використовуючи дану тотожність:
f  x
f  x  1  ;
f  x  1
f  x  1 f  x  1 1
f  x  2    ;
f   x f  x 1    f x  1 f  x  1
1
f x 3   ;
f   x

332