Page 330 - 4371

k
істинною для n  . Нехай n  k  1. Тоді, з огляду на

(13.3), матимемо
1  t   1 1 1  1  1  t  1 t 
f  t k  f k  t   2   k   k    f k   k  

2  2   4 4 4  2  2  2  2 2 
 1 1 1  1  t   1 1 1 
t   2   k   k 1  f k 1  t   2   k 1  ,
 4 4 4  2  2   4 4 4 
що й треба було довести.
1
Оскільки функція f обмежена в околі точки 0, а  0
2 n
t 1  t 
та  0 при n   , то n  f n   0 при n  . То-

2 n 2  2 
му, переходячи в рівності (13.4) до границі при n  ,

отримаємо
 1  t   1 1 1   1
f   t lim   f   t    . . .      0  t  .
n   2 n n 4 4 2 n 3
  2   4  
Перевіривши, бачимо, що  xf   x 3 для всіх x 
R
справді задовольняє дане функційне рівняння.
13.16 Продиференціюємо двічі обидві частини даного
рівняння: 3 f   x 13   9 f   x , 3 2 f   x 13   9 f   x , тобто
f  3x   1  f    x . Тоді (див. задачу 13.14) f    constx  .
a
2
Тому f    axx   b ,  xf  x  bx  c . Підставимо цей
2
вираз для  xf в дане рівняння:
a 2  a 2 
 x 13    b  x 13   c  9  x  bx   c .
2  2 
Тоді
3a  3b  9b ,

a
  b  c  9c .
2
Розв’язавши цю систему стосовно b , матимемо a  2 b ,

330