Page 336 - 4371

Віднявши рівність (13.12) від (13.11), дістанемо
2 fx   0x 2 , тобто   0tf для всіх  xt 2  0 . Оскільки
для x  0 з (13.11) випливає, що   00 f , то, з огляду на
R
парність функції f , для всіх x  виконується   0xf .
Отже, для a  0 , як легко перевірити, єдиним розв’язком
даного функційного рівняння є функція   0xf , а за умо-
ви a 0 рівняння розв’язків не має.
13.27 Замінивши x на x в даному рівнянні
x  f   fx   2 x  2 f   0 x , x  R , (13.13)
отримаємо
 x  f   x f   2x  2 f   0x , x  R .
Додавши отримане співвідношення до (13.13), матимемо
f  x   f  x , тобто шукана функція є непарною. З вра-
хуванням цього (13.13) перепишеться у вигляді
x  f   fx   2x  2 f   0x , x  R ,
звідки видно, що  xf  x для всіх x  R , що й підтвер-

джує перевірка.
13.28 Зробивши в рівнянні
f x  f  y 1  x  y , x  R , y  R , (13.14)
Підстановку y  1, отримаємо xf  f   1 x або

f  z   z  f   1 z  C , z  R , (13.15)
де z  x  C , C  f  1 . Підставимо тепер (13.15) в рівняння
(13.14): x  f   Cy   1  x  y , звідки
 yf  1  y  C , y  R .
Тоді, враховуючи (13.15), отримаємо
1 1
f  y 1  y  C   y  C , звідки C  , тобто  yf   y .
2 2
1
Перевірка підтверджує, що функція  yf   y справді є
2
розв’язком даного функційного рівняння.

336