Page 335 - 4371

2
xf 2   y  f x   y , x  R , y  R .
2
Підставивши в останній рівності y  x , матимемо
f  2x 2  f   00  .
Оскільки f – парна, то   0xf – єдиний розв’язок даного
функційного рівняння.
13.25 Зробивши в даному співвідношенні підстановку
  x   x  x 
y  x 2, одержимо    fxf    f  , або  f   f    01 x ,
 2   2   2 

 x 
 x  R . Звідси  f   0, або   1xf . Якщо   0xf 0 для
 2 
деякої точки x , то     yfxf  f x   y . Тоді xf  y  0
0 0 0 0
для всіх y  R . Зробивши заміну x  y  t , отримаємо
0
f   0t , що суперечить умові.

Отже, перевіривши, переконуємось, що функція   1xf –
єдиний розв’язок даного функційного рівняння.
13.26 Підставивши x  , 1 y  0 в дане функційне рів-
няння одержимо  f 0  f  0   1 f   a0 , звідки a  0 . То-
ді рівняння набуде вигляду
x 2 f   yy  f  x 2  f  xy , x  R , y  R . (13.10)
x
Покладемо тепер в (13.10) y  . Отримаємо
2
x 2 f   xx  f  x 2  f  x , x  R . (13.11)
Зробимо в цьому співвідношенні підстановку x  1, тоді
2 f  1  f  1 , або   01 f . Якщо в (13.10) замінити x на
 x , а x на y , то отримаємо
x 2 f   xx  f  x 2  f  x 2 , x  R .
З цієї рівності та (13.11) маємо, що  xf  f  x , тобто f –
парна. Взявши в (13.10) y   x , отримаємо
x 2 f   xx  f  x 2  f  x 2 , або
2
x 2 f   xx  f  x 2  f  x , x  R . (13.12)

335