Page 327 - 4371

13.7 Поділивши обидві частини нашого рівняння на

x  y , отримаємо функційне рівняння, розглянуте в задачі
13.5, для функції  xg  x   f  x , отже,   Cxg  ln x , звідки
f  x  x  g   Cxx   ln x .

13.8 Розглянемо функцію  xg  f   xx  3 . Для неї дане
рівняння перетвориться в рівняння Коші. Оскільки кожний
многочлен є неперервною на всій числовій осі функцією,
3
то   Cxxg  , тобто,  xf  x  Cx . Перевірка підтверджує
цей результат.
13.9 З рівняння бачимо, що якщо   yxf   , то
0
f   0x та   0yf . Для усіх таких x та y дане функцій-
не рівняння можна переписати у такому вигляді:
1 1 1
  .
f x   y f   x f   y
Записане рівняння є рівнянням Коші для функції
1 1
g  x  , отже,   Cxxg  , тобто  xf  .
f  x Cx
13.10 Якщо функція неперервна і строго монотонна на
деякому інтервалі, то вона оборотна. Нехай
    . Тоді   tgxf g
g    arctgx f  x   ,    x і наше
 2 2 
рівняння перепишеться у вигляді
tg g x  y  tg g   gx   y ,
звідки xg   y  g   gx   y  n  , де n . Підставивши
Z

y  0, отримуємо n  0, бо   xg . Отже, ми знову

2
прийшли до функційного рівняння Коші для функції g .
Тому   Cxxg  і   tgxf  Cx , C  R \  0 .
t  1
13.11 Зробивши в даному рівнянні заміну x  ,
3 t 1
 t 1  t  1
отримаємо  f   f   1t .
 3 t 1  3 t 1
327