Page 331 - 4371

2
b 2 b  1 
c  . Отже,    bxxf  bx   b  x  .
4 4  2 
13.17 Подавши дане рівняння у вигляді
f x   y  f  x
 x 2 f  x , бачимо, що існує
y
f x   y  f  x
lim  x 2 f  x , тобто функція f диференці-
y 0 y
йовна на R і
 xf   x 2 f  x . (13.5)

Нехай для деякої точки x виконується   0xf , тоді
0 0
f x  y   f   xx 2 y f   0x , y  R ,
0 0 0 0
отже,   0xf . Якщо   0xf , то поділивши обидві час-
тини отриманого диференціального рівняння (13.5) на
f  x , матимемо
 2
ln f  x  x ,

x 3 3
звідки ln f  x   ln C , тобто   Cexf  x 3 , C  const ,
3
C  0. Та пряма перевірка показує, що функція

f   Cex  x 3 3 при C  0 не задовольняє даному рівнянню
для усіх дійсних x та y .
Таким чином,   0xf – єдиний розв’язок нашого функ-
ційного рівняння.
13.18 Покажемо, що дане рівняння методом підстановок
можна звести до функційного рівняння Коші.
Підставивши в рівняння x  y  0, отримаємо   00 f .
Якщо тепер тільки y  0, то

 xf 3  f 3  x , x  R . (13.6)
А якщо підставити лише x  0, то матимемо, враховуючи

(13.6),

331