Page 334 - 4371

Підставимо в рівняння (13.7) x 1 n, y  n , де n N . То-
ді, враховуючи останню рівність,
 1   1 
6  2 f   1  f   f   fn    n  2 
 n   n 
 1    1    1 
  f  2 n  1  f   2 n   2  2nf    2 n 2 ,
 

 n    n    n 
звідки f   21 n  n  1. Враховуючи це і підставляючи
x  p, y 1 q , де p , q N , дістаємо, з огляду на (13.8)
Z
 1   1   1 
2 f  p   f   fp    f  p   2 
     
 q   q   q 
 2   2   2p 
 2p 1  1     2p   2   2   1 ,
     
 q   q   q 
 p  2p
звідки  f    1.
 
 q  q
Прямою перевіркою встановлюємо, що функція
f   2  xx 1 для всіх x  Q є шуканим розв’язком даного
функційного рівняння.
13.24 В даному рівнянні
xf 2   y  f    yfx  2 , x  R , y  R (13.9)
замінимо x на x . Отримаємо
xf 2   y  f    yfx  2 , x  R , y  R .
Прирівнявши праві частини отриманого співвідношення та
(13.9), маємо  xf  f  x , тобто шукана функція є пар-
ною.
За підстановки x  , 0 y  0 з рівності  0f  f  0  f  0
випливає, що   00 f .
y
Замінивши у рівності (13.9) y на  , отримаємо співвід-
ношення xf 2   y  f    yfx  2 ,  x  R , y  R , у
якому права частина збігається з правою частиною (13.7).
Тому
334