Page 329 - 4371

x
f  0   1. Взявши тепер y  , матимемо  f 0  f 3  x2 ,
або  2xf  3 f  0 , тобто   constxf  . Враховуючи, якими
можуть бути значення f  0 , робимо висновок, що
розв’язками нашого функційного рівняння є функції
f   0x , f   1x , та   xf 1.

13.14 Підставимо у даному рівнянні x  t 3. Тоді
f  t  f  3t . Методом математичної індукції легко пока-
зати, що
 t 
   ftf   , t  R , n N .
 3 n 
Отже, для кожного фіксованого t  R числова послідов-

  t   t
ність   f   є сталою. Тому, оскільки  0 при
  3 n   n 1 3 n
n   і шуканий розв’язок є неперервною в точці 0 функ-
цією, матимемо
 t   t 
f   t  lim f    f  lim   f   0
n
n
n   3   n  3 
при всіх t  . Це означає, що всі розв’язки даного функ-
R
ційного рівняння виражаються формулою   axf  , де
a  R.
13.15 Перетворивши дане рівняння до вигляду
1 1
f  x2  f  x  x , зробимо заміну t  2 x . Тоді

2 2
1  t  1 t
  tf  f    . (13.3)
2  2  2 2
Доведемо методом математичної індукції, що при всіх
n N
1  t   1 1 1 
  tf  f   t    .. .   . (13.4)
2 n  2 n   4 4 2 4 n 
Для n 1 рівність (13.4) очевидна. Припустимо, що вона є

329