Page 325 - 4371

для всіх дійсних x , зокрема,
 f    f    1  f   1 . (13.2)
Нехай тепер t – довільне дійсне число. Для нього існує та-
ка послідовність раціональних чисел  , що lim   t .
n n
n 
Скориставшись неперервністю шуканої функції, дістанемо
f   limft    lim f   lim  f   lim1     1f  tf  1
n  n n  n n  n n  n
.
Таким чином, позначивши f   C1 ми отримали
f   Cxx  . Перевіркою переконуємось, що усі такі функції
є розв’язками рівняння Коші. Отже, у класі неперервних
функцій усі адитивні функції є лінійними.
13.2 Поклавши в даному функційному рівнянні y  ,
x
2
отримаємо f 2 x  1  2 f  x . Звідси легко бачити, що
f  x  f  x , тобто кожний шуканий розв’язок є парною
функцією, тому обмежимось розв’язанням даного функ-
ційного рівняння при x  , 0 y  0. Позначивши
x  u  , 1 y  v  1 наше функційне рівняння перепи-
шемо у вигляді
f  u  v  1   f u  1   f v   1 , u  , 1 v  1.
Отже, ми отримали рівняння Коші для функції
g    fu u   1 :
g u   v  g   gu   v , u  , 1 v  1.

Тому   Cuug  , звідки    gxf x 2   1  C x 2   1 , x  .
R
Перевіркою легко переконуємось, що кожна функція виду
f    Cx x 2   1 є розв’язком даного функційного рівняння
R
при будь-якому C  .
13.3 Якщо підставити в даному рівнянні y  x  0 , то
отримаємо   00 f . Тоді при y  маємо  xf 2 4 f 2   x
x
 4 f   x 0 , тобто кожний розв’язок є невід’ємною функ-

325