Page 324 - 4371


2
2
або  y 2  2t  2C , y  t  2 tC  C . Із другого рівняння
1 1 2
знайдемо xy  t  C , x  t  C  y . Остаточно:
3 3
2
y   t  2 tC  C , x  t  C  y .
1 2 3
13.1 Дане рівняння xf   y  f  x  f  y називається
функційним рівнянням Коші, а довільна функція, яка є йо-
го розв’язком – адитивною. Методом математичної індук-
ції легко переконуємось, що для довільного натурального
n виконується рівність
f x  x  .. .  x   f  x  f  x  .. .  f  x .
1 2 n 1 2 n
Поклавши у цьому співвідношенні x  x  .. .  x  y ,
1 2 n
отримаємо
f   nfny   .y

Для довільних натуральних m та n візьмемо в останній
m
рівності y  x . Матимемо:
n
 m n   m   m 
mf   fx    fmx   x  f n  x  nf   x ,
 n   n   n 
 m  m
або f  x  f   x , тобто для всіх додатних раціональ-

 n  n
них  і для всіх дійсних x виконується рівність
f  x  f   x . (13.1)
Підставивши в цій рівності  0, матимемо   00 f . Тоді,
зробивши підстановку y   x у вихідному рівнянні, отри-
маємо
0  f   0 f x   x  f  x  f  x ,
або  xf    f  x , тобто адитивна функція є непарною.
Тому для довільного від’ємного раціонального  , викори-
стовуючи рівність (13.1), дістанемо
f  x    f   x        xf  f   x .
Отже, рівність (13.1) виконана для всіх раціональних  і

324