Page 323 - 4371

2
2  xy C   xC  C   C x  C  2013. Звідси одержу-
1 1 2 1 2
ємо загальний розв’язок рівняння:
 xC  C  2 C 2013
y  1 2  2  , C 1  0 .
2C 2C 2C
1 1 1
12.35 Нехай x – спільна точка максимуму двох
0
розв’язків лінійного однорідного рівняння
y   p  yx   p  yx  0 y  x і y  x , тоді
1 2 1 2
 y    yx    0x . Розглянемо визначник Вронського сис-
1 0 2 0
теми функцій   yxy ,  x :  xW  y     yxyx      xyx  .
1 2 1 2 2 1
Очевидно    yxW     yxyx      0xyx  , а це оз-
0 1 0 2 0 2 0 1 0
начає, що розв’язки  xy і y  x є лінійно залежними.
1 2
z
12.36 Зробимо заміну y  , де z  z  x – нова шукана
x
z x   z x 2 z   2 zx   2z

 
функція. Тоді y  , y  і рівняння
x 2 x 3
  z z
відносно z набуває виду   0, або  z  z  0 . Зага-
x x
льний розв’язок цього рівняння z  C cos x  C sin x . От-
1 2
же , загальний розв’язок вихідного рівняння
C cos x  C sin x
y  1 2 .
x
12.37 Домножимо перше рівняння на y :

2
y y      x y  y x , або  yy   x y  y x  . Якщо скорис-
y
татись другим рівнянням системи, то можна записати:

  yy  1. Друге рівняння системи можна подати так:
 
     ,1yy 
  xy 1. Приходимо до системи  Із першого
    1xy  .

y 
рівняння цієї системи послідовно одержуємо: y  t  C ,
1
323