Page 320 - 4371
P. 320

12.26  Доведемо,  що  f     0 .  Припустимо,  що  рівняння
             
          f   e x  f   з  умовами   f    fa    0b    має  ненульовий
         розв’язок   xf  . Можна вважати, що в деяких точках   xf
         приймає додатні значення. Знайдемо точку  x , в якій   xf
                                                        0
         приймає максимальне значення. Тоді    0xf     .
                                                    0
         Оскільки  x  – внутрішня точка відрізка  a,      b  і є точкою
                     0
         максимуму,  то  f        0x  .  Але  нерівності  f    0x    і
                                0                              0
              f    0x  не  можуть  виконуватись  одночасно  з  рівністю
              0
          f    ex    0 x  f   x .
              0          0
                                      2
            12.27 Підставивши  y    x sin  x  в рівняння, одержимо
          2 sin x  4x cosx    q    sin1 xx  2  x   2xp  sin  xxx  2 p  cos xx  0

         – тотожно на  a,     a . Поділимо обидві частини на  x , тоді
                                       sin  x
         при  x    0 ,  x    a,   a :  2   cos4  x    q    xx  1  sin  x  
                                         x
           xp  cos xx   0 . Але при неперервних   xp   і   xq   ліва ча-
         стина прямує до 6 при  x      0 і в деякому околі нуля рів-
                                                   2
         ність порушується. Тому функція  y      x sin  x  не може бу-
         ти  розв’язком  даного  рівняння  при  неперервних   xp     і
          q  x  на інтервалі  a,   a .
            12.28 Підставимо функцію  y 1     cos  x  в рівняння:
                      cos  px   sin  qxx   1x  cos x  0 .
         Неважко  бачити,  що  при  x     0  рівність  не  виконується,
         отже, вказана функція не може бути розв’язком даного рі-
         вняння на  a,    a .
            12.29     Дане     рівняння     рівносильне      рівнянню
                  
                     0
             xyy    , тобто  y    xy   C , звідки
                                        1
                                       x  2       
                                   2
                            y   C  e x  2  e t  2 dt  C   .
                                 1              2  
                                      0           
                                      320
   315   316   317   318   319   320   321   322   323   324   325