Page 309 - 4371

 e  q  dxx p  dxx  C
y ln , або остаточно
 q  dxx
e
 q  dxx
e
y  ln – загальний розв’язок рівняння.
 q  dxx
 e p  dxx  C
12.4 Дане рівняння можна записати у виді
 x sin y dx  cos dyy  0 , тут P x, y  x sin y ,
1  P Q   cos y 0
Q x,  y   cos y . Оскільки      1, то


Q  y x   cos y
рівняння допускає інтегрувальний множник  , який зале-
жить тільки від x . Для його знаходження одержуємо рів-
d ln  x
няння  1, звідки   e . Домноживши на  почат-
dx
кове рівняння, одержуємо рівняння в повних диференціалах:
e x  x sin y dx  e x cos dyy  0 , загальний інтеграл якого
знаходиться просто: xe x 1  sin y  C .
12.5 Запишемо задане рівняння у вигляді
2 1 3 3
3
2
y dy   x3  y  1  dx , або d y  1   x3  y  1 dx . Не-
3
3
хай y 1  z , де z  z  x – нова шукана функція. Тоді рів-
1 2
няння набуває вигляду: dz   x3  z  dx . Зробимо ще одну
3
x
заміну змінної: 3  z  t z  t 3 x, dz  dt 3 dx . Тоді
1 2 1 2 2 1
dt 3 dx  t dx,  dx  dt  t dx, 1 t dx  dt .
3 3 3
dt
Відокремлюємо змінні і інтегруємо: 3dx  ,
1 t 2
dt
t
 3dx  C   2 . Звідси arctg  3 x  C , або, оскільки
1  t
3
t  3  zx  y 3  3 x 1, то arctg y  3 x 1  3 x  C . Остаточ-
309