Page 314 - 4371

0
0
Нехай x  и y  . Тоді, виконуючи рівносильні пере-
творення даного рівняння, послідовно матимемо:
2
3
2
0
2x dy  yx dx   xydy  y dx   ,
 x 2  ydx  2xdy    y xdy  ydx   ,
0
ydx  2xdy
   ,
 x 2  d xy 0
y
2
y dx  2xydy
2
 x  d xy 0
   ,
y 2
2
y dx  xdy 2
2
 x y 2  d xy 0
   ,
y 4
 x   x 
2
2
 x y d  2   d xy 0 2 2  2   d xy 0
   , x y d
   ,
 y   y 
 x   1   x 1  x 1
 d  2   d    0 , d  2    0, 2   C .
 y   xy   y xy  y xy
Оскільки згідно з початковою умовою y  1 при x  , то
1
x 1
C  2 і останнє рівняння набуває вигляду:   2.
y 2 xy
Розв’язуючи його відносно y і враховуючи, що y  1 при
x  1, остаточно дістаємо:
3
8x  1 1
y  .
4x
12.14 Нехай   t 0 C – температура тіла, що охолоджу-
T
ється, яка залежіть від часу t . Тоді згідно з умовою задачі
функція T   t задовольняє диференціальне рівняння
T   t    kT   t , де коефіцієнт пропорційності k  . Інтег-
0
руючи це рівняння при початковій умові   0T  100, діста-
ємо, що температура першого тіла змінюється за законом
T   100t  e  1 k t , а температура другого тіла за аналогічним
1
314