Page 305 - 4371

n  x 
   x lim n   x lim  ln cos  
n   n   2 k
k 1  
 x x x 
 lim ln cos cos  ... cos  .
n    2 4 2 n 
Далі скористаємось результатом задачі 8.34:
  x x x   sin x x
   x   ln  lim cos  cos  . . .  cos n    ln  ln .
 
 n   2 4 2   x sin x

 x  sin x  xcos x 1
Звідси   xS      x  ln     ctgx .

 sin x  xsin x x
 x 3n
11.42 Нехай   xS  . Неважко переконатись, що
n 0  !3n
 x 3 n1  x 3 n2  x 3 n
S  x   , S   x   , S   x    S  x .
n1  n !13  n1  n !23  n0   n !3
Отже,  xS є розв’язком задачі Коші:
   S   Sx   0x , S   10  , S   0  S     00  .
x
1 x 2  3
Розв’язавши її, одержуємо  xS  e  e 2 cos x .
3 3 2
11.43 Збіжність ряду очевидна. Попередньо знайдемо
деякі добутки. Розглянемо рівність

 x 3  x 5 n 1  x 2n 1
sin x  x    .. .     .. . 
1
! 3 ! 5 2n 1 !
  x 2  x 4 n 1  x 2n 2 
 x  1   .. .   1   . . . .
 ! 3 ! 5 2n 1 ! 
 
Враховуючи, що коренями многочлена в дужках є
 , 1  . . . , 2 , маємо
 x 2   x 2   x 2 
sin x  x  1 x 2  1    1   . . .  1   . . .  ,
 2  2   2 
 2   3   n 

305