Page 311 - 4371

2
0
 z  3x 2  dz  2xzdx  . Одержане рівняння є однорідним і
за допомогою заміни z ux u  0, x   0 може бути зведене
до рівняння з відокремлюваними змінними
2
dx u  3
 du  0. Інтегруючи це рівняння, дістаємо
3
x u  u
xu 3 3 2
0
ln   ln C , або Cxu  u  1 (при C  маємо розв’я-
2
u  1
1
зкиu   ). Повертаючись до змінної y , одержане співвід-
2
4
6
ношення можна записати у вигляді y  x  Cy . Знайдений
розв’язок має місце і при y  .
0
12.8 Нехай x  . Введемо нову шукану функцію
0
3
u  u   x за допомогою формули y  ux . Відносно нової
2
шуканої функції u  u   x дане диференціальне рівняння
2 du
приймає вигляд xu  1 u 4 . У цьому рівнянні змінні
3 dx
2udu 3dx
відокремлюються:  . Інтегруючи і повертаючись
1 u 4 x
y 2
3
до старої шуканої функції, дістаємо arcsin  lnCx , де
x 3
C  0 . При відокремлюванні змінних було загублено
3
2
2
1
розв’язок u  , якому відповідає розв’язок y  x вихід-
ного рівняння.
Оскільки при заміні x на   x дане диференціальне рів-
няння не змінюється, то його загальний розв’язок має ви-
гляд:
y 2 3 3
2
0
arcsin 3  lnC x , y  x , де C  .
x
12.9 Перепишемо дане рівняння у вигляді
311