Page 312 - 4371

2
3
3
2
2x y dx ydx  2x y dy xdy  0 або
2
2
x y 2 dx  dy 2  dxy  0 .
Оскільки інтегральні криві даного рівняння x  і y  не
0
0
проходять через точку  1,1 , то рівняння можна перетвори-
ти до вигляду
 
d xy  1 
2
2
2
d  x  y 2   або d x  y    0 .

2
x y 2  xy 
1
2
2
Звідси x  y   C . З умови задачі випливає, що y  1
xy
при x  . Використовуючи цю початкову умову, знаходи-
1
мо, що C  3. Таким чином, рівняння шуканої інтегральної
1
2
2
кривої може бути записано у вигляді x  y   3, або
xy
2
2
xy  x  y   3  1 0 .
12.10 Перетворимо дане рівняння наступним чином:
xdy  ydx  3ydx  3xy 2 dx  0, або d   3 yxy xy   1 dx  0 .
Неважко перевірити, що x 0, y  0 і y   1 x – розв’язки
даного рівняння. Нехай x  0 , y  0 і y   1 x. Тоді рів-
dx
няння можна записати у вигляді   3 xyxyd xy   1  0 ,
x
d  xy dx  1 1  dx
 3  0 ,   d   3xy  0. Інтегру-
xy xy   1 x   xy xy  1  x

ючи, дістаємо ln xy  ln xy  1  3 ln x   ln C , C  0 , або
x 2 xy 1  Cy , C  R . Константі C  0 відповідають роз-
в’язки x 0 і y   1 x .
Оскільки x  0 не задовольняє умову задачі, то вихідне
dy y 2  3xy 
рівняння можна записати у вигляді   0 . З
dx x

312