Page 310 - 4371

но дістаємо загальний інтеграл даного рівняння у вигляді
3
y  3 x 1  tg  x 3 C .
12.6 Нехай y  x 2 u , де u  (xu )  нова шукана функція
(оскільки y  , 0 то x  0 і u  0 ). Тоді рівняння приймає
вигляд:
x 3 du 1
2
u 
2 xu  x  x  або u2  x  1 .
x 2 u dx u
Відокремлюємо змінні та інтегруємо:
udu dx udu dx

 ;  2   lnC , C  ; 0
u 1  u 2 2 x u  1 2u x
1  1 
  ln u  1  ln 2u  1  ln C x ,

3  2 
1 2
 ln   u  1  2u  1  ln C x ,
6
1 6 2 1
2
 u 1  2 u  1  , C  , 0 x u  1  2u   1  .
Cx 6 C
1
Перейдемо до старої змінної і замінимо на C :
С
2
 y   2 y 
6
x  2 1   2 1   C . Отже, загальний інтеграл рівняння:
 x   x 
(y  x 2 ) 2 2 ( y  x 2 ) C .

х 2
2
При С  0 маємо розв'язки у  х і у   , що відповіда-
2
1
ють и 1 і и  , тобто розв’язкам, які були втрачені вна-
2
слідок відокремлювання змінних.
0
12.7 Рівняння має розв’язок y  . Нехай y  . Зробимо
0
заміну змінних: y  z  z  y 2  , z  . Тоді рівняння пере-
0
2
твориться до вигляду  z  3x 2  dz  x zdx  0 або
2 z
310