Page 303 - 4371

11.38 Збіжність ряду при всіх x очевидна. Маємо:
 n 2 1  n  1 nn  1   x n   n  1n  n 1    x n
 n x n             
n 1 2 ! n n 1 ! n  2  n 1  ! n ! n ! n   2 
  2x n   2x n   2x n   x 2   2x k x   2x m
            
n 2  2n ! n 1  1n ! n 1 ! n  2  k 0 ! k 2 m 0 ! m
  2x  n  x  2 x 1
     e x 2  e x 2  e x 2  1 x 2  2 x  4 e x 2  1.
n 1  ! n  2  2 4
11.39 Збіжність ряду при всіх x очевидна. Із рівності
1
cos 3   4 cos 3  3 cos  маємо cos 3   cos 3   3 cos  ,
4
1
тобто cos 3  x3 k  cos 3 k 1  x  3 cos  x3 k . Тоді
4
2k 1  1 n
n
S   x  cos 3  3 x
2k 1 n
n 0 3
1
  cos x 3  3 cos x 
4
1 2
 cos   x3 cos x 3 
3
1 1
 cos   x3 3 cos   x3 2
3 2 3
1 1
 cos   x3 4 cos   x3 3
3 3 3 2
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 k 2 1 k 2 1  1  1 k 2 1 
 cos 3 x  cos 3 x    cos3 x  cos 3 x .

3 k 2 1 3 k 2 2  4  3 k 2 1 
3
Очевидно, що lim S 2 k 1  x  cos x і
k  4
1
S   Sx   x  cos 3 3 2 k  x . Оскільки
k 2 2 k 1 2 k
3
303