Page 221 - 4371

7.45 Виконаємо наступні перетворення:
x 10  x 2 1 3x 4   1x 2    xx 8 2 1  x 6  1x 2  x 4  1x 2 2x 2 
 x 2 1   x 2 1 x 8  x 6  x 4  2x 2 1  
 x 2 1  x 2 1 x 6  x 2 1 2x 4  x 2 1 3x 2  x 2 1 
2
 x 2  1  x 6  2x 4  3x 2   1 .
Одержаний вираз не може бути від’ємним, що доводить
нерівність. Очевидно, що знак рівності буде тільки у випа-
дку, коли x  1.
7.46 Перетворимо вираз:
(xf )   1x   2x   3x   4x  

  1x   4x   2x   3x   x 2  5x  4 x 2  5x  6  
2
2
2
2
 x  5 x 5  1 x  5 x 5  1   x  5 x  5  1
Очевидно, що значення функції буде найменшим, коли
найменшим буде перший доданок, тобто при тих значен-
нях x , які є коренями рівняння x 2  5 x 5  0 , тобто при
 5  5   5  5 
x  . Отже, f min   f    1.
2  2 


7.47 Нехай
2
2
f  x  ( x 6 )( x 9 )( x  5 x 4  ) x  73  10 x . Неважко
бачити, що
f     xx 6  x 9  x 1  x 4  x 2  73 10 x 
   9x  1x   6x   4x  x 2 10x  73 
 x 2  10 x 9 x 2  10 x 24  x 2  10 x 73.

Позначимо  xt 2  10 x 9 , тоді
f     ttx 15  t  64   t  8 2  0 , що і доводить задану
нерівність.
7.48 Маємо
 1   1   1   1 
 1 2    1 2    1 2      1 3  
 2   3   4   2013 

221