Page 199 - 4371

2
2
2
2) Нехай a  a  a  0 , тобто хоча б одне із чисел
1 2 3
a , ,a a відмінне від нуля. Тоді хоча б один з мінорів
1 2 3
  3
   3 ,   3 , відмінний від нуля. Це означає, що ранг мат-
2 3 4
риці A дорівнює 3. Якщо при цьому виконується умова

a b  a b  a b  0 , то ранг розширеної матриці A також
1 1 2 2 3 3
дорівнює 3, а тому, згідно з теоремою Кронекера-Капеллі,
дана система є сумісною. Оскільки число невідомих дорів-
нює рангу матриці A , то дана сумісна система є визначе-
ною, тобто має єдиний розв’язок.
Якщо ж a b  a b  a b  0 , то ранг розширеної матриці
1 1 2 2 3 3

A дорівнює 4, тобто не дорівнює рангу матриці A , а це
означає, що дана система є несумісною.
2
2
2
2
2
2
2
Таким чином: а) якщо a  a  a  0 і b  b  b  c  0
1 2 3 1 2 3
2
2
2
або a  a  a  0 і a b  a b  a b  0 , то вихідна систе-
1 2 3 1 1 2 2 3 3
ма лінійних рівнянь є несумісною;
2
2
2
б) якщо a  a  a  0 і a b  a b  a b  0 , то система
1 2 3 1 1 2 2 3 3
має єдиний розв’язок;
в) якщо a  a  a  b  b  b  c  0, то система має
1 2 3 1 2 3
безліч розв’язків.
6.31 1) Якщо a 1, b 1, то система несумісна.
2) Якщо a 1, b 1, то система має безліч розв’язків:
x 1  x  x   x ; x , x , x ,  R ;
n 1 2 n1 1 2 n1
Нехай a  1. Тоді віднімаючи почленно від першого рів-
няння друге, дістаємо:   xa  1  1 a x  0 , звідки
1 2
x  x . Аналогічно можна показати, що x  x , x  x ,
2 1 3 1 4 1
…, x  x . Тому дана система рівнянь при a  1 рівно-
n 1 1
сильна системі:
  xx i 1 , i  ,2 , 3  ,n  ,1

  na  2   xx 1 n  ,1 (6.3)

  1n   axx  .b
 1 n
199