Page 204 - 4371

1 1 2
1   . (7.2)
sin  cos  sin 2 
Оскільки  – гострий кут, то всі знаменники додатні, при-
чому
1 1 2
 , 1  , 1  2.
sin  cos cos 2
Таким чином, вся сума (7.2) не менше 5. Але вона не може

дорівнювати 5, оскільки sin  і cos не можуть одночас-
но дорівнювати 1.
   
7.7 Зробимо заміну: x   ytg ,  tg ,  ,   ,  .
 2 2 
Тоді
  yx  1 xy   tg  tg   1 tg tg    tg  tg   1 tg tg   


 1 x 2  1 y 2   1 tg 2   1 tg 2   sec 2  sec 2 
 cos 2  cos 2   tg  tg    tgtg1   

  cos cos tg  cos cos tg  cos cos  cos cos tg tg  
 sin  cos   cos  sin  cos  cos  sin  sin  
1
 sin    cos      sin 2    .
2
Звідси очевидним чином випливає справедливість нерівно-
сті, що доводиться.
1 1 1 1
7.8 Всі доданки виразу     , крім
2
n n  1 n  1 n 2
2
n
першого, тобто n  членів, замінимо найменшим з них,
одержимо
1 1 1 1 1 n 2  n 1 n  1
         1,
n n  1 n 2  1 n 2 n n 2 n n
що і треба було довести.
7.9 Дана нерівність рівносильна нерівності
m n m m n
e m   e n .
n
x
Але при x 0 e  1  x , так що
204