Page 203 - 4371

 n   1  1  n 1 1
ln   ln 1      , тобто ln   .
 n 1  n  1  n  1  n  n  1
1   1
n 1
Остаточно  ln   , що і потрібно було довести.
n 1  n  n
2
0
7.5 Із очевидної нерівності   yx   одержуємо:
2
2
x  y 2 x  2xy  y 2
2
2
2
2
2x  2y  x  2xy  y , або  ,
2 4
x 2  y 2   yx  2
тобто    . (7.1)
2  2 
Зауважимо також, що згідно з нерівністю Коші для a і b,
2
  ba  1
які фігурують в умові задачі, маємо ab     ,
 2  4
1
тобто  4, причому рівність досягається тільки при
ab
1
a  b  .
2
1 1
Покладемо в нерівності (7.1) x  a  , y  b  , оде-
a b
ржимо:
2 2
 1   1 
 a    b  2 2
 a   b  1  1 1  1  1 1 
  a  b     1   
2 4  a b  4  a b 
2 2
1  a  b  1  1  1 2 25
 1     1     1  4  .
4  ab  4  ab  4 4
2 2
 1   1  25
Звідси  a    b   , що і вимагалось. Рівність
 a   b  2
маємо тільки при  ba  5 , 0 .
7.6 Ліву частину нерівності можна представити у виді

203