Page 170 - 4371

2
a 2 b 2 a  b 2 
 .
 cosb 2 2  a 2 sin 2   sinb 2 2  a 2 cos 2  
r r 
Віддаль від точки O до хорди AB дорівнює d  1 .
AB
a 2 b 2 a 2 b 2

2
2
2
2
r 2 r 2 b 2 cos   a 2 sin  b 2 sin   a 2 cos  a 2 b 2
2
d  1  2 2 2 2  .
2
AB 2 a b a  b  a  b 2
2
 cosb 2 2   a 2 sin   sinb 2 2   a 2 cos 2  
ab
Таким чином, d   const , що і потрібно було
2
a  b 2
довести.
5.42 Нехай  , axxC 2  – точка на нижній параболі, із
0 0
якої проведені дві дотичні до верхньої параболи,
A  , yx  , B x , y  – точки дотику (див. рисунок 5.18).
1 1 2 2
Якщо пряма y  kx  b має одну спільну точку з парабо-
2
2
лою y  ax  m , то рівняння ax  m  kx  b , або
ax 2  kx  m  b  0 має один корінь, тобто його дискримі-
k 2
нант дорівнює нулю: k 2  4a   bm  0 , звідки b  m  .
4 a
k 2
Отже, рівняння дотичної y  kx  m  і абсциса точки
4 a
k
дотику x  . Врахуємо, що дотична проходить через
2 a
k 2
2
точку C : ax  kx  m  , звідси
0 0
4 a
2
2
2
k  4 akx  a 4 2 x  4 am, k  2 ax   4 am ,
0 0 0
тобто k  2 ax  2 am . Для абсцис точок дотику A і B
0
маємо:
2 ax  2 am m 2 ax  2 am m
x  0  x  , x  0  x  .
1 0 2 0
2 a a 2 a a
170