Page 167 - 4371

y 3 bsin 2 t cos t b

що y  t    tgt , рівняння дотичної
x 2
x  3 acos t sin t a
t
до кривої в точці, що відповідає значенню t параметра,
може бути записане у виді:
b
y  bsin 3 t   tgt x  acos 3  t .
a
Знайдемо точки перетину цієї дотичної з осями координат;
при x  0 одержуємо y  bsin 3 t  btgt cos 3 t  bsin t , а при
y  0 маємо x  asin 2 t cos t  acos 3 t  acos t .
Площа трикутника, обмеженого дотичною та осями ко-
ординат дорівнює
1 1 1
S  xy  acos b t sin t  absin t 2 .
2 2 4
Ця площа буде найбільшою при sin 2 t 1. У відповідності

до цього, одержуємо чотири точки на кривій:
 a b   a b   a b 
M  ,  , M  ,  , M   , ,
1 2 3
 2 2 2 2   2 2 2 2   2 2 2 2 
 a b 
M   ,  .
4
 2 2 2 2 
x 2 y 2
5.39 Припустимо, що в еліпс   1 ( a  ) вписа-
b
a 2 b 2
но рівносторонній трикутник, центр якого співпадає з
центром еліпса. Опишемо навколо цього трикутника коло;
очевидно вершини трикутника будуть точками перетину
цього кола з еліпсом. Зрозуміло також, що радіус r кола
задовольняє умову b  r  a. Але, як неважко перекона-
2
2
2
тись, коло x  y  r перетинається з еліпсом в чотирьох
точках, які є вершинами прямокутника і ніякі три з них не
можуть бути вершинами правильного трикутника.
5.40 Нехай C – центр кола, r – його радіус, A – дана
точка. Введемо прямокутну декартову систему координат,
провівши вісь Ox через точки C і A і вибравши початок
167