Page 112 - 4371

рема, ні при якому цілому x число  xQ не дорівнює ні
одному з чисел -1, 1, 3, 5 і 7, а значить, число
P    Qx   2x не дорівнює ні одному з чисел 1, 3, 5, 7 і 9.
3.12 Якщо многочлен сьомого степеня  xP розклада-
ється в добуток двох многочленів  xQ і  xR з цілими ко-
ефіцієнтами, то степінь хоча б одного із співмножників не
перевищує 3; нехай це буде  xQ . Якщо  xP при семи ці-
лих значеннях x приймає значення 1 , то  xQ при тих
же значеннях x теж приймає значення 1 . Серед семи ці-
лих значень x , при яких  xQ приймає значення  ,
1
знайдуться чотири таких, при яких  xQ приймає значення
1, або чотири таких, при яких  xQ приймає значення -1. в
першому випадку рівняння степеня не вище 3   1 xQ 0

має чотири корені, в другому випадку рівняння   1 xQ 0
має чотири корені, що неможливо.
3.13 Якщо  xP – многочлен з цілими коефіцієнтами і m
l
і l – цілі числа, то   PmP   l ділиться на m  (див., зок-
рема, розв’язок задачі 3.5). Нехай N – деяке ціле число і
P    MN  0 . При будь-якому цілому k
P N  kM  P  N ділиться на kM , а значить, і на M ; то-
му при будь-якому цілому k NP  kM  ділиться на M .
Але серед значень   kMNP , k  , 2 , 1 , 0  зустрічаються
числа, відмінні від  M , оскільки в противному випадку
принаймні одне з рівнянь   MxP  0 або   MxP  0
мало б більше ніж n коренів, де n – степінь многочлена
P  x , що неможливо.
3.14 Всякий многочлен виду   axxP  , очевидно, задо-
вольняє умовам задачі. Доведемо методом математичної
індукції, що для будь-якого невід’ємного цілого n шука-
ний многочлен  xP задовольняє рівність   nPnP   1 .

112