Page 72 - 4363

u   ( t ), u   ( t ), j  1 , 0 ,..., m
i, j 1 j n, j 2 j
a
 
h 2
Схема стійка при 1 2 / 1 .
Еліптичні рівняння в частинних похідних
До дослідження такого рівняння призводить розгляд
задач про електричні і магнітні поля, задач гідродинаміки,
дифузії і т. д. Розглянемо розв’язання рівняння Пуассона та
його однорідної форми - рівняння Лапласа.
Розв’язок рівняння Пуассона будемо шукати в деякій
обмеженій області W  0 {  x  q 0 ,  y  q }зміни незалежних
1 2
змінних x, y:
 2 u  2 u
  f (x , ) y (7.13)
x  2 y  2
Граничні умови:
, 0 ( u ) y  m (y ),u (a , ) y  m (y ),y I [0,b], (7.14)
1 2
u (x ) 0 ,  m (x ),u (x ,b )  m (x ), y I [0,a],
3 4
де f ,m ,m ,m ,m - задані функції (задача, що
1 2 3 4
складається з розв’язку еліптичного рівняння при заданих
значеннях шуканої функції на границі розрахункової області,
називається задачею Діріхле.).
Побудуємо в області W рівномірну прямокутну сітку з
кроками h і l по х і y відповідно: x  ih , i  1 , 0 ,..., n ,
i
h  q n / ; y  jI j ,  1 , 0 ,..., m, I  q /2 m .
1 j
Апроксимуємо диференціальну задачу (7.13) - (7.14) на
шаблоні "хрест" (Рис. 7.2), в результаті отримуємо неявну
тришарову різницеву схему:
a u  b u  c u  d u  e u  f (7.15)
i, j i j , 1 i, j i j , 1 i, j i, j 1 i, j i, j 1 i, j i, j i, j
1 1  1 1 
де a  b  ,c  d  ,e  2     ,
i , j i , j 2 i , j i , j 2 i , j 2 2
h l  h l 
70