Page 69 - 4363

Розглянемо одномірне рівняння коливань струни. В
області 0 {  x  0 , l  t  T }потрібно знайти розв’язок
рівняння:
 2 u 2  2 u
 a (7.2)
t  2 x  2
Шукана функція u (x, t) повинна задовольняти початкові
умови, що описує початкову (t = 0) форму струни j (x) і
швидкість її точок y (x):
u
u (x ) 0 ,   (x ) , (x ) 0 ,  (x ), 0  x  1 (7.3)
t
і граничним умовам, які вказують, що відбувається на
кінцях струни (х = 0 і х = 1):
u ,0( t )  ( t), u ,( t l )  ( t 0),  t  T (7.4)

1 2
Сукупність початкових і граничних умов називається
крайовими умовами.
Для побудови різницевої схеми розв'язку задачі (7.2) -
(7.4) побудуємо в області 0{  x  0 , l  t  T } сітку x  ih ,
i
i  1 , 0 ,..., n , l  t   j , j  1 , 0 ,..., m ,T   m і аппроксимуєм
h
j
рівняння (7.2) у кожному внутрішньому вузлі сітки на
шаблоні "хрест" (рис.7.2).

Рисунок 7.2 – Шаблон для хвильового рівняння
Використовуючи для апроксимації частинних похідних
вираз (7.1), отримуємо наступну різницеву апроксимацію
рівняння (7.2):

67